بحث عن المتتابعة الحسابية و الهندسية

المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية



المتتابعة هي : دالة د مجالها مجموعة جزئية من ط ومداها مجموعة جزئية من ح .

وتسمى : د(ن)=أن بالحد النوني للمتتابعة ، ن تنتمي لـ ط ، وعناصرها تسمى حدود المتتابعة .

وهناك متتابعات منتهية : د {1، 2،3، ...،م} ← ح . ومتتابعات غير منتهية : د : ط ← ح .

المتتابعة الحسابية

نقول أن {حن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = حن +1 - حن ، لجميع قيم ن وتسمى د أساس المتتابعة .

ملاحظات :

1- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو : حن = أ + (ن - 1) د ، أ هو الحد الأول ، د هو الأساس .

2- الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

أمثلة :

مثال(1) : هل المتتابعة : {حن } ={15،11،7،3،.....} حسابية أم لا ولماذا ؟ .

جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن حن +1 - حن = 4 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،....} .

جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، الحد الأول (أ) =1 ، إذن :

ح13 = 1 + (13 - 1) × -4 = 1 + (- 48) = - 47 .

مثال(3) : إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245 ؟ .

جواب(3) : أ = -13 ، حن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟

نوجد أساس المتتابعة (د) من القانون كمايلي :

حن = أ + (ن - 1)د

245 = -13 + (7 - 1) × د ، إذن د = 43 ، إذن الأوساط هي : 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202 .

تمرين:

أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 والتي تقبل القسمة على 6 ؟ ( ن = 14 حدا ) .

إرشاد : الحد الأخير = 96 .

المتتابعة الهندسية



عزيزي الطالب لاحظ المتتابعات التالية واكتشف القاعدة :

{16،8،4،2،1،.....} ، {5،5،5،.....} ، {27،-3،9،-1،....}

نلاحظ في كل المتتابعات السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت ، وهذا النوع من المتتابعات نسميه بالمتتابعات الهندسية .

المتتابعة الهندسية:

نقول أن {حن } متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت ر بحيث ر = حن +1 ÷ حن ، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة .

ملاحظات :

1-الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو : حن = أ رن - 1 ، حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة .

2- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

3- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب يسمى الوسط الهندسي حيث :

أ/ب = ب/جـ ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ .

أمثلة :

مثال(1) : قرر فيما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،..... ؟

جواب(1) : المتتابعة هندسية لأن حن +1 ÷ حن = 2 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد العاشر في المتتابعة : 2/1،-2،1،.... ؟

جواب(2) : المتتابعة هندسية ، أ = 2/1 ، ر = -1 ÷ 2/1 = -2 ، إذن :

ح10 = 2/1 × -92 = 2/1 × ( -512) = 256

مثال(3) : أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ .

جواب(3) : الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12 .

مثال(4) : إدخل أربعة أوساط هندسية بين العددين 486 ، 2 ؟

جواب(4) : أ= 486 ، ح6 = 2 ، ن = 6 ، بقي أن نوجد الأساس ر كما يلي :

حن = أ رن - 1

2 =486 × ر6 - 1 ← ر5 = 486/2 ← ر5 = 243/1 ، لاحظ أن 243 = 53

ر5 = (3/1)5 ← ر = 3/1

468 × 3/1 = 162 ، 162 × 3/1 =54 ، وهكذا .

إذن الأوساط الهندسية الأربعة هي : 162 ، 54 ، 18 ، 6 . (تذكر أن ر = حن +1 ÷ حن ) .

ملاحظة : إذا كان عدد الأوساط المطلوبة فردي ، كأن يقول إدخل خمسة أوساط... ، فإن الأساس ر الذي توصلت إليه يكون زائد أو ناقص ، بمعنى أن يكون خمسة أوساط موجبة وأخرى سالبة .

أعلم أنك تريد مثال ، لذا سأذكر المثال التالي :

*** إدخل خمسة أوساط هندسية بين العددين 81 ، 9/1 ؟

جــ : أ= 81 ، ح7 = 9/1 ، ن = 7 ،

حن = أ رن - 1

9/1 =81 × ر7 - 1 ← ر6 = 9/1 ÷ 81 ← ر6 = 729/1 ، لاحظ أن 729 = 63

ر6 = (3/1)6 ← ر =+ - 3/1

عندما ر= + 3/1 فإن الأوساط هي : 27 ، 9 ، 3 ، 1 ، 3/1

عندما ر= - 3/1 فإن الأوساط هي : -27 ، 9 ، -3 ، 1 ، -3/1

تمرين :

1- إدخل وسطين هندسيين بين العددين 9 ، -243 ؟ ( الحل : -27 ، 81) .

2- أوجد المتتابعة الهندسية التي يزيد حدها الثالث عن الثاني بمقدار 6 ، ويزيد الحد الرابع عن الثالث بمقدار 4 ؟ . ( -27 ، -18 ، -12 ، -8 ، ......) .

تحياتي لطلاب الصف العاشر